フラクタル

フラクタルの定義

　位相次元(座標軸の数と考えて良い)は、０以上の整数値をとり、ハウスドルフ次元は０以上のあらゆる実数値をとる可能性があり、一般に、集合Ｋに対し、

　　　　　　　　dim_Ｔ(Ｋ) ≦ dim_Ｈ(Ｋ)

ということがわかっている。

　集合Ｋの位相次元　dim_Ｔ(Ｋ) とハウスドルフ次元　dim_Ｈ(Ｋ)について、

　　　　　　　　dim_Ｔ(Ｋ) ＜ dim_Ｈ(Ｋ)

　 が成立するとき、集合Ｋはフラクタルであるという。
　この定義から、ハウスドルフ次元＝フラクタル次元といえる。

フラクタル次元

　ハウスドルフ次元の計算をすればいいのだが、その定義が大変なので、ここでは直感に頼って、簡単なフラクタル図形のフラクタル次元を計算してみよう。
　線分［０、１］をｎ等分すると、ｎ個の部分にわかれるので１／ｎの線分がｎ本集まって全体を構成していることになる。正方形の場合を考えるとやはり、一辺が１／ｎの正方形がｎ２個集まっており、立方体の場合はｎ３個になる。つまり、指数部分１、２、３が各図形の次元に一致している。これを拡張して、ある図形は、全体を１／ｎに縮小された図形ｐ個によって構成されているとき、適当な指数ｄで

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　logｐ
　　　　　　　　ｐ＝ｎ^ｄ　すなわち　ｄ＝―――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　logｎ

と表せる。この指数部ｄがフラクタル次元である。

　コッホ曲線は１／３に縮小された線分４個によって構成されているので、そのフラクタル次元は

　　　　　　　　　　　log４
　　　　　　　　ｄ＝―――＝１．２６・・・・
　　　　　　　　　　　log３
である。